Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi M là trung điểm của DE, N là trung điểm của DF.
a) Chứng minh rằng EN = FM.
b) Gọi K là giao điểm của EN với FM. Chưng sminh rằng tam giác KEF cân.
c) Chứng minh rằng DK là phân giác \(\widehat {EDF}\)
d) DK cắt EF tại H. Biết DE = 10 cm, EF = 12 cm. Tính DH.
a)Ta có: \(DM = ME = {{DE} \over 2}\) (M là trung điểm của DE)
\(DN = NF = {{DF} \over 2}\) (N là trung điểm của DF)
Mà DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
Do đó: DM = ME = DN = NF.
Xét tam giác DEN và DFM ta có:
DN = DM (chứng minh trên)
\(\widehat {EDN} = \widehat {FDN}\) (góc chung)
DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
Do đó: \(\Delta DEN = \Delta DFM(c.g.c) \Rightarrow EN = FM.\)
b) Ta có: \(\widehat {DEF} = \widehat {DFE}(\Delta DEF\) cân tại D) \(\Rightarrow \widehat {DEN} + \widehat {KEF} = \widehat {DFM} + \widehat {KFE}\)
Mà \(\widehat {DEN} = \widehat {DFM}(\Delta DEN = \Delta DFM)\) . Do đó: \(\widehat {KEF} = \widehat {KFE}.\)
Vậy tam giác KEF cân tại K.
c) Xét tam giác DEK và DFK ta có:
DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
\(\widehat {DEK} = \widehat {DFK}(\Delta DEN = \Delta DFM)\)
EK = FK (chứng minh câu b)
Do đó: \(\Delta DEK = \Delta DFK(c.g.c) \Rightarrow \widehat {EDK} = \widehat {FDK}.\)
Vậy DK là tia phân giác của góc EDF.
d) Xét tam giác DHE và DHF ta có:
DH là cạnh chung
DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
\(\widehat {EDH} = \widehat {FDH}\) (chứng minh câu c)
Do đó: \(\Delta DHE = \Delta DHF(c.g.c) \Rightarrow \widehat {DHE} = \widehat {DHF}\)
Mà \(\widehat {DHE} + \widehat {DHF} = {180^0}\) (kề bù)
Nên \(\widehat {DHE} + \widehat {DHE} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {DHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DHE} = {90^0}.\)
Ta có: \(EH = HF = {{EF} \over 2} = {{12} \over 2} = 6cm(\Delta DHE = \Delta DHF)\)
Tam giác HDE vuông tại H:
\(D{E^2} = D{H^2} + E{H^2}\) (định lí Pythagore)
Do đó: \(D{H^2} = D{E^2} - E{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64\)
Mà DH > 0. Vậy \(DH = \sqrt {64} = 8(cm).\)