Bài 27 trang 62 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho đường thẳng $d: y = \left( {m - 2} \right)x + 2$ với $m \ne 2$...

Cho đường thẳng $d:y = \left( {m - 2} \right)x + 2$ với $m \ne 2$.

a) Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cùng với các trục $Ox,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Đầu tiên tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Ox$ và $Oy$ sau đó áp dụng công thức tính diện tích của tam giác để tìm giá trị của $m$.

a) Với $y = 0$ thì $x = \frac{{ - 2}}{{m - 2}}$, ta được điểm $A\left( {\frac{{ - 2}}{{m - 2}};0} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Ox$. Khi đó $OA = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|$.

Với $x = 0$ thì $y = 2$, ta được điểm $B\left( {0;2} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Oy$. Khi đó $OB = 2$.

Ta có diện tích của tam giác $OAB$ bằng 2 nên $\frac{1}{2}.OA.OB = 2$ hay $OA.OB = 4$.

Suy ra $\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|.2 = 4$ hay $\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right| = 2$. Do đó $\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2$ hoặc $\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2$.

Vậy $m = 1$ hoặc $m = 3$ (thỏa mãn) thì đường thẳng $d$ cùng với các trục $Ox,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Từ câu a, ta có đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B\left( {0;2} \right)$ với mọi giá trị của $m$. Vậy khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B\left( {0;2} \right)$ cố định.