Chứng minh các đẳng thức sau:
a. \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)
b. \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {1 \over {x - y}}\)
a. Biến đổi vế trái :
\({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)} \over {2{x^2} + 2xy - xy - {y^2}}} = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {2x\left( {x + y} \right) - y\left( {x + y} \right)}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} = {{y\left( {x + y} \right)} \over {2x - y}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế trái:
\({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}} \over {{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = {{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\)
\( = {{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = {1 \over {x - y}}\)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.