Câu 154 trang 99 SBT Toán 8 tập 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE...

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE.

Giải:                                                                    

Trên tia đối tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (*)

Xét ∆ ABK và ∆ CBM:

AB = CB (gt)

$\widehat A = \widehat C = {90^0}$

AK = CM (theo cách vẽ)

Do đó: ∆ ABK = ∆ CBM (c.g.c)

$\Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_4}$ (1)

$\widehat {KBC} = {90^0} - {\widehat B_1}$ (2)

Trong tam giác CBM vuông tại C.

$\widehat M = {90^0} - {\widehat B_4}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat {KBC} = \widehat M$ (4)

$\widehat {KBC} = {\widehat B_2} + {\widehat B_3}$  mà  ${\widehat B_1} = {\widehat B_2}$ (gt)

${\widehat B_1} = {\widehat B_4}$ (chứng minh trên)

Suy ra: ${\widehat B_2} = {\widehat B_4} \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {\widehat B_3} + {\widehat B_4}$ hay $\widehat {KBC} = \widehat {EBM}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra: $\widehat {EBM} = \widehat M$

⇒ ∆ EBM cân tại E ⇒ EM = BE (**)

Từ (*) và (**) suy ra: AK + CE = BE.