Câu 12.2 trang 99 SBT Toán 8 tập 1: Tứ giác EFGH là hình gì ?...

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì ?

Giải:                                                                            

Ta có: $\widehat {AOB}$và \)\widehat {COD}\) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng

$\widehat {BOC}$và $\widehat {AOD}$ đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng

Xét ∆ BEO và ∆ BFO:

$\widehat {EBO} = \widehat {FBO}$ (tính chất hình thoi)

OB cạnh chung

$\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}$ (gt)

Do đó: ∆ BEO = ∆ BFO (g.c.g)

⇒ OE = OF (1)

Xét ∆ BEO và ∆ DGO:

$\widehat {EBO} = \widehat {GDO}$ (so le trong)

OB = OD(tính chất hình thoi)

$\widehat {EOB} = \widehat {GOD}$ (đối đỉnh)

Do đó: ∆ BEO = ∆ DGO (g.c.g)

⇒ OE = OG (2)

Xét ∆ AEO và ∆ AHO:

$\widehat {EAO} = \widehat {HAO}$ (tính chất hình thoi)

OA cạnh chung

$\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}$ (gt)

Do đó: ∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)

⇒ OE = OH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH

nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.