Câu 155 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,...

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF

b. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD

HD . Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng KA // CE.

a. Xét ∆ BEC và ∆ CFD:

BE = CF (gt)

$\widehat B = \widehat C = {90^0}$

BC = CD (gt)

Do đó: ∆ BEC = ∆ CFD (c.g.c)

$\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}  \cr  & {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {90^0} \cr}$

Suy ra: ${\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}$

Trong ∆ DCM có ${\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}$

Suy ra: $\widehat {DMC} = {90^0}$. Vậy CE ⊥ DF

b. Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.

Xét tứ giác AKCE ta có:

AB // CD hay AE // CK

AE = ${1 \over 2}$AB (gt)

CK = ${1 \over 2}$CD (theo cách vẽ)

Suy ra: AE // CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 AK // CE

DF ⊥ CE (chứng minh trên)⇒  AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM

Trong ∆ DMC ta có: DK = KC

                                 KN // CM

nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ∆ ADM cân tại A (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)

⇒ AD = AM