Câu 20 trang 7 SBT Toán 8 tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:...

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a. $A = 4x - {x^2} + 3$

b. $B = x - {x^2}$

c. $N = 2x - 2{x^2} - 5$

a. $A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}$

Ta có: ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$  

Suy ra: $A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7$

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại $x = 2$

b. $B = x - {x^2})\\( = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}$

Vì ${\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0$ . Suy ra: $B = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là ${1 \over 4}$ tại $x = {1 \over 2}$

c. $N = 2x - 2{x^2} – 5$ $=  - 2\left( {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right) =  - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)$

   $=  - 2\left[ {{{\left( {x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] =  - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}$

Vì${\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0$  nên$- 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0$

Suy ra: $N =  - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \le  - {9 \over 2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là $- {9 \over 2}$  tại $x = {1 \over 2}$