Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:
a. \(A = 4x - {x^2} + 3\)
b. \(B = x - {x^2}\)
c. \(N = 2x - 2{x^2} - 5\)
a. \(A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\)
Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\)
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. \(B = x - {x^2})\\( = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\)
Vì \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)
c. \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( = - 2\left( {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right) = - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)
\( = - 2\left[ {{{\left( {x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\)
Vì\({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)
Suy ra: \(N = - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \le - {9 \over 2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( - {9 \over 2}\) tại \(x = {1 \over 2}\)