Câu 19 trang 7 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:...

Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

a. P$= {x^2} - 2x + 5$

b. Q$= 2{x^2} - 6x$

c. M$= {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10$

Giải:                                   

a. P$= {x^2} - 2x + 5)\\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4$

Ta có: 

${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4$

$\Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4$

$\Rightarrow P = 4$  là giá trị bé nhất ⇒ ${\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1$

Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi  

b. Q$= 2{x^2} - 6x$$= 2\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2\left( {{x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)$

 $= 2\left[ {{{\left( {x - {2 \over 3}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2}$

      Ta có: ${\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge  - {9 \over 2}$

       $\Rightarrow Q =  - {9 \over 2}$ là giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow {\left( {x - {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}$

       Vậy $Q =  - {9 \over 2}$  là giá trị bé nhất của đa thức $x = {2 \over 3}$

c.

$\eqalign{  & M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right)  \cr  &  = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr}$

Ta có:

$\eqalign{  & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr}$

$\Rightarrow M = {3 \over 4}$  là giá trị nhỏ nhất khi ${\left( {y + 3} \right)^2} = 0$

$\Rightarrow y =  - 3$  và ${\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}$

Vậy $M = {3 \over 4}$ là giá trị bé nhất tại $y =  - 3$ và $x = {1 \over 2}$