Chứng minh hằng đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)
Giải:
Biến đổi vế trái:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & {\left( {a + b + c} \right)^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^3} = {\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + 3ac\left( {a + b} \right) + 3bc\left( {a + b} \right) + 3{c^2}\left( {a + b} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] \cr & = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \cr} \)
Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.