Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H. Gọi K, M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH.
Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k = \({1 \over 2}\) .
Giải:
Trong tam giác AHB, ta có:
K là trung điểm của AH (gt)
M là trung điểm của BH (gt)
Suy ra KM là đường trung bình của tam giác AHB.
Suy ra: KM \( = {1 \over 2}AB\)
(tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1)
Trong tam giác AHC, ta có:
K là trung điểm của AH (gt)
N là trung điểm của CH (gt)
Suy ra KN là đường trung bình của tam giác AHC.
Suy ra: KN \( = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{KN} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2)
Trong tam giác BHC, ta có:
M trung điểm của BH (gt)
N trung điểm của CH (gt)
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BHC.
Suy ra: MN \( = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{KM} \over {AB}} = {{KN} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Vậy ∆ KMN đồng dạng ∆ ABC (c.c.c)
Ta có hệ số tỉ lệ: k \( = {{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\).