Câu 32 trang 91 bài tập SBT môn Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng...

Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H. Gọi K, M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH.

Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k = ${1 \over 2}$ .

Giải:

Trong tam giác AHB, ta có:

K là trung điểm của AH (gt)

M là trung điểm của BH (gt)

Suy ra KM là đường trung bình của tam giác AHB.

Suy ra: KM $= {1 \over 2}AB$

 (tính chất đường trung bình của tam giác )

Suy ra: ${{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}$              (1)

Trong tam giác AHC, ta có:

K là trung điểm của AH (gt)

N là trung điểm của CH (gt)

Suy ra KN là đường trung bình của tam giác AHC.

Suy ra: KN $= {1 \over 2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác )

Suy ra: ${{KN} \over {AC}} = {1 \over 2}$        (2)

Trong tam giác BHC, ta có:

M trung điểm của BH (gt)

N trung điểm của CH (gt)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BHC.

Suy ra: MN $= {1 \over 2}BC$ (tính chất đường trung bình của tam giác )

Suy ra: ${{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}$              (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ${{KM} \over {AB}} = {{KN} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}$

Vậy ∆ KMN đồng dạng ∆ ABC (c.c.c)

Ta có hệ số tỉ lệ: k $= {{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}$.