Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC.
a. Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.
b. Tính chu vi của tam giác PQR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543cm.
Giải:
a. Trong tam giác AOB, ta có:
P trung điểm của OA (gt)
Q trung điểm của OB (gt)
Suy ra: PQ là đường trung bình của ∆ OAB.
Suy ra: \(PQ = {1 \over 2}AB\)
(tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1)
Trong tam giác OAC, ta có:
P trung điểm của OA (gt)
R trung điểm của OC (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: PR là đường trung bình của tam giác OAC.
Suy ra: \(PR = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2)
Trong tam giác OBC, ta có:
Q trung điểm của OB (gt)
R trung điểm của OC (gt)
Suy ra: QR là đường trung bình của tam giác OBC.
Suy ra: \(QR = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
Suy ra: \({{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Vậy ∆ PQR đồng dạng ∆ ABC (c.c.c)
b. Gọi p’ là chu vi tam giác PQR.
Ta có: \({{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {{PQ + PR + QR} \over {AB + AC + BC}} = {{p’} \over p}\)
Vậy: \({{p’} \over p} = {1 \over 2} \Rightarrow p’ = {1 \over 2}p = {1 \over 2}.543 = 271,5\) (cm)