Câu 43 trang 85 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = Các đường...

Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.

a) Chứng ninh rằng MN // CD.

b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)

a) Gọi M’ và N’ là giao điểm của tia AM và BN với CD. Ta có:

$\widehat {M’} = {\widehat A_2}$ (so le trong)

${\widehat A_1} = {\widehat A_2}$ (gt)

Suy ra: $\widehat {M’} = {\widehat A_1}$ 

Nên ∆ ADM’ cân tại D

DM là phân giác của $\widehat {ADM’}$ 

Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ AM = MM’

$\widehat {N’} = {\widehat B_2}$ (so le trong)

${\widehat B_1} = {\widehat B_2}$ (gt)

Suy ra: $\widehat {N’} = {\widehat B_1}$ nên ∆ BCN’ cân tại C

CN là phân giác của $\widehat {BCN’}$

Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ BN = NN’

Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABN’M’

⇒ MN // M’N’ (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay MN // CD

b) $MN = {{AB + M’N’} \over 2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$\Rightarrow MN = {{AB + M’D + CD + CN’} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mà M’D = AD, CN’ = BC. Thay vào (1):

$MN = {{AB + AD + CD + BC} \over 2} = {{a + d + c + b} \over 2}$