Câu 43 trang 94 SBT môn Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng, nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau...

Chứng minh rằng, nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau thì:

a. Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

b. Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

a. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên ta có:

$\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’}$ và ${{A’B’} \over {AB}} = k$

Lại có: $\widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat A$ (gt) và $\widehat {B’A’D’} = {1 \over 2}\widehat A$  (gt)

Suy ra: $\widehat {BAD} = \widehat {B’A’D’}$

Xét ∆ ABD và ∆ A’B’D’, ta có:

$\widehat B = \widehat {B’}$  (chứng minh trên )

$\widehat {BAD} = \widehat {B’A’D’}$  (chứng minh trên )

Suy ra: ∆ ABD đồng dạng ∆ A’B’D’ (g.g)

Vậy: ${{A’D’} \over {AD}} = {{A’B’} \over {AB}} = k$

b. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên ${{B’C’} \over {BC}} = k$

Mà $B’M’ = {1 \over 2}B’C’$ và $BM = {1 \over 2}BC$  nên ${{B’M’} \over {BM}} = k$

Xét ∆ ABM và ∆ A’B’M’, ta có:

${{A’B’} \over {AB}} = {{B’M’} \over {BM}} = k$

$\widehat B = \widehat {B’}$ (chứng minh trên )

Suy ra: ∆ ABM đồng dạng ∆ A’B’M’ (c.g.c)

Vậy ${{AM’} \over {AM}} = {{A’B’} \over {AB}} = k$