Câu 44 trang 85 SBT Toán 8 tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM....

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Chứng minh rằng:

${\rm{AA’ = }}{{BB’ + CC’} \over 2}$

Ta có: BB’ ⊥ d (gt)

            CC’ ⊥ d (gt)

Suy ra: BB’ // CC’

Tứ giác BB’CC’ là hình thang

Kẻ MM’ ⊥ d

 ⇒ MM’ // BB’ // CC’

Nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’

$\Rightarrow MM’ = {{BB’ + CC’} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét hai tam giác vuông AA’O và MM’O:

$\widehat {OA’A} = \widehat {OM’M}$

AO = MO (gt)

$\widehat {AOA’} = \widehat {MOM’}$ (đối đỉnh)

Do đó: ∆ AA’O = ∆ MM’O (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AA’ = MM’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\rm{AA’ = }}{{BB’ + CC’} \over 2}$.