Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB.
a. Vẽ trung tuyến BE của tam giác ABO. Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\).
b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.
a. Vì ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của AO (vì BE là trung tuyến của tam giác ABO) nên ta có:
\(\eqalign{ & AO = CO = {1 \over 2}AC; \cr & AE = {1 \over 2}AO. \cr} \)
Mặt khác, theo giả thiết AC = 2AB nên dễ thấy AB = AO và do đó \(AE = {1 \over 2}AB\)
Xét hai tam giác AEB và ABC, ta có:
Góc A chung
Advertisements (Quảng cáo)
\({{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
Vậy ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)
Suy ra: hai góc tương ứng bằng nhau \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\) (đpcm)
b. Theo chứng minh ở câu a. ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC theo tỉ số k = \({1 \over 2}\) nên dễ thấy \(BE = {1 \over 2}BC\) hay BE = BM
Suy ra: ∆ BEM cân tại B.
Xét tam giác EBC có:
\({{BE} \over {BC}} = {{OE} \over {OC}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC
BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).