Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.
c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.
Quan sát hình 3.
a, Ta có: \(\widehat {ABE} + \widehat {EBD} + \widehat {DBC} = 60^0 + 60^0 + 60^0 = {180^0}\)
Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng
b, Do:
\(\begin{array}{l}\widehat {BDE} = \widehat {DBC} = {60^0} \Rightarrow ED//BC\left( 1 \right)\\\widehat {BED} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ED//AB\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2) suy ra: ED//AC suy ra tứ giác ACDE là hình thang
Mà: \(\widehat {EAC} = \widehat {DCA} = {60^0}\) suy ra hình thang ACDE là hình thang cân
c, Gọi BH là đường cao của tam giác BDE. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BHD vuông tại H, ta có:
\(B{D^2} = B{H^2} + H{D^2} \Rightarrow B{H^2} = B{D^2} - H{D^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = a\sqrt {\frac{3}{4}} \)
AC = a + a = 2a
Diện tích của tứ giác ACDE là: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.BH.(ED + AC) = \frac{1}{2}.a\sqrt {\frac{3}{4}} .(2a + a) = \frac{{3{a^2}}}{2}\sqrt {\frac{3}{4}} \)