Bài 3 trang 87 Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$...

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $HC$, $CE$. Các đường thẳng $AM$, $AN$ cắt $HE$ tại $G$ và $K$.

a) Chứng minh tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật

b) Chứng minh $HG = GK = KE$

a) Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật

b) Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác

a) Do $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $HE$ hay $HI = EI$

Tứ giác $AHCE$ có hai đường chéo $AC$ và $HE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ (gt) nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao) nên hình bình hành $AHCE$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta AHC$ có $AM$, $HI$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta AHC$.

Suy ra: $HG = \frac{2}{3}HI;\;IG = \frac{1}{2}HG$

Chứng minh tưng tự đối với $\Delta AEC$ có $K$ là trọng tâm của $\Delta AEC$

Suy ra: $EK = \frac{2}{3}EI$ và $IK = \frac{1}{2}EK$

Ta có: $HG = \frac{2}{3}HI;\;EK = \frac{2}{3}EI$ mà $HI = EI$

Suy ra $HG = EK = \frac{2}{3}EI$

Mà $EI = \frac{1}{2}EH$

Suy ra $HG = EK = \frac{1}{3}HE$

Suy ra $GK = HE - HG - KE = HE - \frac{1}{3}HE - \frac{1}{3}HE = \frac{1}{3}HE$

Vậy $HG = GK = KE$