Bài 4 trang 87 Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$...

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Vẽ $DE$ // $AB$, vẽ $DF$ // $AC$$(E \in AC$; $F \in AB)$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật

b) Tứ giác $BFED$ là hình bình hành

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành

a) Ta có:

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$ và $AB \bot AC$

Mà $DE$ // $AB$ ; $DF$ // $AC$

Suy ra $DE \bot AC;\;DF \bot AB$

Suy ra $\widehat {DEA} = \widehat {DFA} = 90^\circ$

Tứ giác $AEDF$ có $\widehat {BAC} = \widehat {DEA} = \widehat {DFA} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật

b) Vì $AEDF$ là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra $AE = DF$; $AF = DE$; $AF$ // $DE$; $AE$ // $DF$

Vì $DE \bot AC;\;DF \bot AB$ (cmt)

Suy ra $\widehat {DEC} = \widehat {BFD} = 90^\circ$

Xét $\Delta BFD$ và $\Delta DEC$ ta có:

$\widehat {{\rm{BFD}}} = \widehat {{\rm{DEC}}} = 90^\circ$ (cmt)

$BD = DC$ (gt)

$\widehat {{\rm{FBD}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}$ (do $DE$ // $BF$ )

Suy ra $\Delta BFD = \Delta DEC$ (ch – gn)

Suy ra $BF = DE$; $DF = EC$ (hai cạnh tương tứng)

Xét tứ giác $BFED$ ta có:

$BF$ // $DE$ (do $AB$ // $DE$)

$BF = DE$ (cmt)

Suy ra $BFED$ là hình bình hành