Bài 5 trang 80 Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo: Cho hình bình hành $ABCD$...

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$; $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $AK$ và $CI$ với $BD$.

a) Chứng minh tứ giác $AEFI$ là hình thang

b) Chứng minh $DE = EF = FB$

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thang

b) Áp dụng tính chất của trọng tâm

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt)Suy ra $AB$ // $CD$, $AD$ // $BC$; $AB = CD$; $AD = BC$Mà $IA = IB = \frac{{AB}}{2}$; $KD = KC = \frac{{CD}}{2}$ (do $I$,$K$ là trung điểm)Suy ra $IA = IB = KD = KC$Xét tứ giác $AKCI$ có:$AI = KC$ (cmt)$AI$ // $KC$Suy ra $AKCI$ là hình bình hànhSuy ra $IC$ // $AK$Hay $IF$ // $AE$Suy ra $AEFI$ là hình thangb) Vì $ABCD$, $AKCI$ là hình bình hành (gt)Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, $BD$, $KI$Suy ra $OD = OB = \frac{1}{2}BD$ (1)Xét tam giác $ADC$ có hai trung tuyến $AK$, $DO$ cắt nhau tại $E$Suy ra $E$ là trọng tâm của tam giácSuy ra $ED = \frac{2}{3}DO$ (2)Chứng minh tương tự ta có $BF = \frac{2}{3}BO$ (3)Từ (1), (2), (3) suy ra $ED = BF = \frac{1}{3}BD$Suy ra ${\rm{EF}} = \frac{1}{3}BD$Vậy $DE = EF = FB$