Hoạt động 2
a) Cho hình thang cân \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) (\(AB > CD\). Qua \(C\) vẽ đường thẳng song song với \(AD\) và cắt \(AB\) tại \(E\) (Hình 6a)
i) Tam giác \(CEB\) là tam giác gì? Vì sao?
ii) So sánh \(AD\) và \(BC\)
b) Cho hình thang cân \(MNPQ\) có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\) (Hình 6). So sánh \(MP\) và \(NQ\)
Sử dụng kiến thức về góc tạo bởi hai đường thẳng song song (góc đồng vị) và định nghĩa hình thang cân để chỉ ra \(\widehat {CEB} = \widehat {CBE}\) (do cùng bằng \(\widehat {{\rm{DAE}}}\))
a) i) \(ABCD\) là hình thang cân (gt)
\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\) (1) và \(DC\) // \(AE\)
Vì \(AD\;{\rm{//}}\;CE\) (gt)
\(\widehat A = \widehat {CEB}\) (cặp góc đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {CEB} = \widehat B\)
Suy ra \(\Delta CEB\) là tam giác cân.
ii) \(\Delta CEB\) cân tại \(C\) (cmt)
Suy ra: \(CE = BC\) (3)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CED\) ta có:
\(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{CED}}}\) (\(AD\)// \(CE\), cặp góc so le trong)
\(DE\) chung
\(\widehat {{\rm{AED}}} = \widehat {{\rm{CDE}}}\) (\(CD\) // \(AB\), cặp góc so le trong)
Suy ra: \(\Delta ADE = \Delta CED\) (g-c-g)
Suy ra: \(AD = CE\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(AD = BC\)
b) Chứng minh tương tự như ý a) ta có: Hình thang cân \(MNPQ\) có hai cạnh bên \(MQ = NP\)
Xét tam giác \(\Delta MQP\) và \(\Delta NPQ\) ta có:
\(MQ = NP\) (cmt)
\(\widehat {{\rm{MQP}}} = \widehat {{\rm{NPQ}}}\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân)
\(PQ\) chung
Suy ra: \(\Delta MQP = \Delta NPQ\) (c-g-c)
\( \Rightarrow MP = NQ\) (hai cạnh tương ứng)
Thực hành 2
Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân \(MNPQ\) có hai đáy \(MN\) và \(PQ\)
Sử dụng tính chất của hình thang cân.
Vì \(MNPQ\) là hình thang cân (gt)
Suy ra: \(MP = NQ\) và \(MQ = NP\)
Vận dụng 3
Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.
Kẻ đường cao \(BK\)
Sử dụng tính chất của hình thang cân
Kẻ đường cao \(BK\)
Suy ra \(AH = BK\) và \(AHKB\) là hình chữ nhật
Suy ra \(HK = AB = 1\)cm
Vì \(ABCD\) là hình thang cân (gt)
\( \Rightarrow AC = BD\)và\(AD = BC\)(tc)
Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta BKC\) ta có:
\(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \) (gt)
\(\widehat D = \widehat C\) (định nghĩa hình thang cân)
\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)
Suy ra: \(\Delta AHD = \Delta BKC\) (ch – cgv)
Suy ra \(DH = KC\) (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(DH = KC = \frac{{CD - HK}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\) (cm)
Suy ra \(HC = 2\) (cm)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(AHD\) ta có:
\(A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {3^2} = 10\)
Suy ra \(AD = \sqrt {10} \) (cm)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ACH\) ta có:
\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {3^2} + {2^2} = 9 + 4 = 13\)
\(AC = \sqrt {13} \) (cm)
Vậy \(AC = BD = \sqrt {13} \)cm; \(AD = BC = \sqrt {10} \) cm