Hoạt động 3
Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\), \(CD\) và có hai đường chéo bằng nhau (Hình 10). Vẽ đường thẳng đi qua \(C\), song song với \(BD\) và cắt \(AB\) tại \(E\).
a) Tam giác \(CAE\) là tam giác gì? Vì sao?
b) So sánh tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\)
Sử dụng tính chất của hình thang cân chứng minh \(\Delta CAE\) cân; \(\Delta ABD = \Delta BAC\)
a) Vì \(ABCD\) là hình thang cân (gt)
\( \Rightarrow AC = BD\) và \(AB\;{\rm{//}}\;CD\)
Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta CBE\) ta có:
\(\widehat {DCB} = \widehat {CBE}\) (do \(AB\) // \(CD\))
\(BC\) chung
\(\widehat {CBD} = \widehat {BCE}\) (do \(CE\) // \(BD\))
Suy ra \(\Delta BCD = \Delta CBE\) (g-c-g)
Suy ra \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(AC = BD\) (cmt)
Suy ra \(AC = EC\)
Suy ra \(\Delta CAE\) cân tại \(C\)
b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAC\) ta có:
\(DA = BC\) (do \(ABCD\) là hình thang cân)
\(\widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) (Do \(ABCD\) là hình thang cân)
\(AB\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta BAC\) (c-g-c)
Thực hành 3
Sử dụng thước đo góc và thước đo độ dài để tìm hình thang cân trong các tứ giác ở Hình 12.
Sử dụng thước đo góc và đo độ dài và dấu hiệu nhận biết để tìm hình thang cân
Sau khi đo độ dài các cạnh và các góc, ta thấy \(ABCD\), \(EFGH\) là các hình thang cân.
Vận dụng 4
Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân \(MNPQ\) (Hình 13) với hai đáy \(MN = 6cm\), \(PQ = 10\)cm và độ dài hai đường chéo \(MN = NQ = 8\sqrt 2 \) cm. Tính độ dài đường chéo và cạnh bên của hình thang
Chứng minh \(QH = KP\)
Tính độ dài các đoạn thẳng \(HK\), \(QH\), \(KP\)
Áp dụng định lý Pythagore tính độ dài \(MH\), \(MQ\)
a) Xét \(\Delta MHQ\) và \(\Delta NKP\) ta có:
\(\widehat {MHQ} = \widehat {NKP} = 90^\circ \)
\(MQ = NP\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân)
\(\widehat {MQP} = \widehat {NPQ}\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân)
Suy ra: \(\Delta MHQ = \Delta NKP\) (ch – gn)
Suy ra: \(HQ = KP\) (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(HQ = KP = \frac{{PQ - HK}}{2} = \frac{{10 - 6}}{2} = 2\) (cm)
\(HP = 8\)cm
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(MHP\) ta có:
\(M{H^2} = M{P^2} - H{P^2} = {\left( {8\sqrt 2 } \right)^2} - {8^2} = 128 - 64 = 64\)
\(MH = 8\) (cm)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(MHQ\) ta có:
\(M{Q^2} = M{H^2} + Q{H^2} = {8^2} + {2^2} = 68\)
\(MQ = \sqrt {68} \) (cm)