Luyện tập 2 trang 153 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Chứng minh trung điểm của các cạnh của một ngũ giác đều tạo thành một ngũ giác đều....

Chứng minh trung điểm của các cạnh của một ngũ giác đều tạo thành một ngũ giác đều.

M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh EA, AB, BC, CD, DE của hình ngũ giác đều

$\Rightarrow EM = MA = AN = NB = NP = PC = CQ = QD = DR = RE$

Mặt khác $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E$ (ABCDE là ngũ giác đều)

Do đó $\Delta AMN = \Delta BNP = \Delta CPQ = \Delta DQR = \Delta EMR$

 $\Rightarrow MN = NP = PQ = QR = MR\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $\widehat {RMN} + \widehat {EMR} + \widehat {AMN} = {180^0}$ (E M, A thẳng hàng),

$\widehat {MNP} + \widehat {ANM} + \widehat {BNP} = {180^0}$ (A, N, B thẳng hàng)

Và $\widehat {EMR} = \widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \widehat {BNP}$

$\left( {\Delta EMR = \Delta AMN = \Delta BNP} \right) \Rightarrow \widehat {RMN} = \widehat {MNP}$

Lần lượt chứng minh tương tự ta có:

$\widehat {RMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQR} = \widehat {MRQ}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra đa giác MNPQR là ngũ giác đều.