Advertisements (Quảng cáo)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.
Giải
Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O)
Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.
Xét hai ∆MAC và ∆MBD:
\(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh)
\(\widehat A = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{BC}\)
Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g)
\( \Rightarrow {{MB} \over {MC}} = {{MD} \over {MA}}\)
\( \Rightarrow MA.MB = MC.MD\) (1)
Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \( \Rightarrow \) tích MC.MD không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.
Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O)
Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D
Xét ∆MAD và ∆MCB:
\(\widehat M\) chung
\(\widehat B = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\))
Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g)
\( \Rightarrow {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD\) (3)
Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \( \Rightarrow \) tích MC. MD không đổi (4)
Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.