Câu 18 trang 102 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi....

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.

Giải

Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.

Xét hai ∆MAC và ∆MBD:

$\widehat {AMC} = \widehat {BMD}$ (đối đỉnh)

$\widehat A = \widehat D$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{BC}$

Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g)

$\Rightarrow {{MB} \over {MC}} = {{MD} \over {MA}}$

$\Rightarrow MA.MB = MC.MD$            (1)

Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi $\Rightarrow$ tích MC.MD không đổi              (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.

Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét ∆MAD và ∆MCB:

$\widehat M$ chung

$\widehat B = \widehat D$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{AC}$)

Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g)

$\Rightarrow {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD$               (3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi $\Rightarrow$ tích MC. MD không đổi   (4)

Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.