Câu 21 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 2: Hãy tính các góc của tam giác DEF....

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, biết $\widehat A = {32^0}$, $\widehat B = {84^0}$. Lấy các điểm D, E, F thuộc đường tròn tâm O sao cho AD = AB, BE = BC, CF = CA. Hãy tính các góc của tam giác DEF.

Giải

$\widehat A = {1 \over 2}$  sđ $\overparen{BC}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{BC}$ $= 2\widehat A = {2.32^0} = {64^0}$

BC = BE (gt)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{BC}$ = sđ $\overparen{BE}$ = 64⁰

$\widehat B = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{AC}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{AC}$ $= 2\widehat B = {2.84^0} = {168^0}$

AC = CF (gt)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{CF}$ =  sđ $\overparen{AC}$ = 168⁰

 sđ $\overparen{AC}$ +  sđ $\overparen{AF}$ +  sđ $\overparen{CF}$ = 360⁰

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{AF}$ $= {360^0} -$  sđ $\overparen{AC}$ -  sđ $\overparen{CF}$ = 360⁰ – 168⁰. 2 = 24⁰

Trong ∆ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)$

              = ${180^0} - \left( {{{32}^0} + {{84}^0}} \right) = {64^0}$

 sđ $\widehat {ACB} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{AB}$

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{AB}$ $= 2\widehat {ACB} = {2.64^0} = {128^0}$

AD = AB (gt)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{AD}$ =  sđ $\overparen{AB}$ = 128⁰

$\widehat {FED} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{DF}$ $= {1 \over 2}$ ( sđ $\overparen{AD}$ +  sđ $\overparen{AF}$)

            = ${1 \over 2}.\left( {{{128}^0} + {{24}^0}} \right) = {76^0}$

$\widehat {EDF} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{EF}$ = ${1 \over 2}$ ( sđ $\overparen{AB}$ -  sđ $\overparen{AF}$ -  sđ $\overparen{BE}$

            = ${1 \over 2}.\left( {{{128}^0} - {{24}^0} - {{64}^0}} \right) = {20^0}$

$\widehat {DFE} = {180^0} - \left( {\widehat {FED} + \widehat {EDF}} \right)$

            = ${180^0} - \left( {{{76}^0} + {{20}^0}} \right) = {84^0}$.