Advertisements (Quảng cáo)
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} – {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} – {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x – y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} – {1 \over {x – y}} = – {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x – 3y}} + {5 \over {3x + y}} = – 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} – {5 \over {2x – 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x – y + 2}} – {5 \over {x + y – 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x – y + 2}} + {2 \over {x + y – 1}} = 4} \cr} } \right.\)
a) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a – b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)
b) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\) ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a – 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{4a + 9.{{15a – 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a – 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)
c) Đặt \({1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x – y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne \pm y\). Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a – b = – {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b – {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x – y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr
{x – y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (5; 3).
d) Đặt \({1 \over {2x – 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne {3 \over 2}y;x \ne – {1 \over 3}y.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = – 2} \cr
{3b – 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = – 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{12a + 25a + 105 = – 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{37a = – 111} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x – 3y}} = – 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x – 3y = – {1 \over 3}} \cr
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x – 3\left( {{1 \over 2} – 3x} \right) = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x + 9x = – {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – {7 \over {22}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị \(x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)
e) Đặt \({1 \over {x – y + 2}} = a;{1 \over {x + y – 1}} = b.\) Điều kiện \(x – y + 2 \ne 0;x + y – 1 \ne 0.\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a – 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{7a – 5.{{4 – 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{14a – 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{29a = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x – y + 2}} = 1} \cr
{{1 \over {x + y – 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x – y + 2 = 1} \cr
{x + y – 1 = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y – 1 + y – 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{2y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2).