Câu 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 52, 53 Sách bài tập Toán 9 tập 2: Tìm a, b, c để phương trình có hai nghiệm là x1 =...

Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Đưa các phương trình sau về dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ và xác định các hệ số a, b, c:

a) $4{x^2} + 2x = 5x - 7$

b) $5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2}$

c) $m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx$

d) $x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2$

a) $4{x^2} + 2x = 5x - 7 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x + 7 = 0$ có a = 4, b = -3, c = 7

b)

$\eqalign{ & 5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 - 1} \right){x^2} + 2x + 1 = 0 \cr & a = \sqrt 5 - 1;b = 2;c = 1 \cr}$

c) $m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {3 - m} \right)x + 5 = 0$

$m - 1 \ne$ nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = - (3 – m ); c = 5

d)

$\eqalign{ & x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 2 = 0 \cr}$

${m^2} - 1 \ne 0$ nó là phương trình bậc hai có $a = {m^2} - 1,b = 1 - m,c =  - 2$

Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

a) ${x^2} - 3x + 1 = 0$

b) ${x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0$

c) $5{x^2} - 7x + 1 = 0$

d) $3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0$

a) ${x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1$

$\Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}$

$\Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}$ hoặc $x - {3 \over 2} =  - {{\sqrt 5 } \over 2}$

$\Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}$ hoặc $x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}$

b) ${x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}$

$\Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}$ hoặc $x + {{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 6 } \over 2}$

$\Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}$ hoặc $x =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}$

c)

$\eqalign{ & 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr}$

$\Leftrightarrow x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}$ hoặc $x - {7 \over {10}} =  - {{\sqrt {29} } \over {10}}$

$\Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}$ hoặc  $x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}$

d)

$\eqalign{ & 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr}$

$\Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1$ hoặc $x + {{\sqrt 3 } \over 3} =  - 1$

$\Leftrightarrow x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}$ hoặc $x =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}$

Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm b, c để phương trình ${x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là những số dưới đây:

a) ${x_1} =  - 1$ và ${x_2} = 2$

b) x₁ = -5 và x₂ = 0

c) ${x_1} = 1 + \sqrt 2$ và ${x_2} = 1 - \sqrt 2$

d) x₁ = 3 và ${x_2} =  - {1 \over 2}$

a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}$

Hệ số: b = -1; c = -2.

b) Hai số - 5 và 0 là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left( {x + 5} \right)\left( {x + 0} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr}$

Hệ số: b = 5; c = 0

c) Hai số $1 + \sqrt 2$ và $1 - \sqrt 2$ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left[ {x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr}$

Hệ số: b = -2; c = -1

d) Hai số 3 và $- {1 \over 2}$ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left( {x - 3} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x - 3x - {3 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr}$

Hệ số: b = -5; c = -3

Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm a, b, c để phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là x₁ = -2 và x₂ = 3.

Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?

x = -2 là nghiệm của phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0$, ta có:

$4a - 2b + c = 0$

x = 3 là nghiệm của phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0$ ta có:

$9a + 3b + c = 0$

Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {4a - 2b + c = 0} \cr {9a + 3b + c = 0} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {5a + 5b = 0} \cr  {4a - 2b + c = 0} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr  {4a - 2\left( { - a} \right) + c = 0} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr  {c = - 6a} \cr} } \right. \cr}$

Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:

$\left\{ {\matrix{ a \cr {b = - a} \cr {c = - 6a} \cr} } \right.$

thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm x₁ = -2; x₂ = 3

Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:

$\eqalign{ & 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr}$

Có nghiệm: ${x_1} =  - 2;{x_2} = 3$

Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.