Câu 35 trang 70 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp...

Cho đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)$        (d)

Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau :

a)      Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2), B(3;-4) ;

b)      Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1 - \sqrt 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $2 + \sqrt 2$; 

c)      Đường thẳng (d) cắt đường thẳng $y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}$;

d)     Đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y =  - {3 \over 2}x + {1 \over 2}$;

e)      Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng $y = 2x - 3$.

a) Đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)$ đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4)

nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm A:

$\eqalign{ & 2 = \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + n \cr & \Leftrightarrow 2 = - m + 2 + n \cr & \Leftrightarrow m = n \cr}$     (1)

Điểm B:

$\eqalign{ & - 4 = \left( {m - 2} \right).3 + n \cr & \Leftrightarrow 3m + n = 2 \cr}$        (2)

Thay (1) vào (2)  ta có:

$\eqalign{ & 3m + m = 2 \cr & \Leftrightarrow 4m = 2 \cr & \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \cr}$                                                     

Vậy với $m = n = {1 \over 2}$ thì đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)$ đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4).

b) Đường thẳng y = (m – 2)x + n cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1 - \sqrt 2$ nên ta có: $n = 1 - \sqrt 2$.

Đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng $2 + \sqrt 2$ nên ta có tung độ của giao điểm bằng 0.

Ta có:

$\eqalign{ & 0 = \left( {m - 2} \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) + 1 - \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m - 4 - 2\sqrt 2 + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m = 3 + 3\sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow m = {{3 + 3\sqrt 2 } \over {2 + \sqrt 2 }} = {{3\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} \cr & = {3 \over {\sqrt 2 }} = {{3\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

Vậy với $n = 1 - \sqrt 2$ và $m = {{3\sqrt 2 } \over 2}$ thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1 - \sqrt 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $2 + \sqrt 2$.

c) Đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n$ cắt đường thẳng $y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}$ khi và chỉ khi $m - 2 \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow m \ne {1 \over 2} + 2 \Leftrightarrow m \ne {5 \over 2}$.

Vậy với $m \ne {5 \over 2}$ thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng $y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}$.

d) Đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n$ song song với đường thẳng $y =  - {3 \over 2}x + {1 \over 2}$ khi và chỉ khi $m - 2 =  - {3 \over 2}$ và $n \ne {1 \over 2}$ .

Ta có: $m - 2 =  - {3 \over 2} \Leftrightarrow m =  - {3 \over 2} + 2 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}$

Vậy với $m = {1 \over 2}$ và $n \ne {1 \over 2}$ thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y =  - {3 \over 2}x + {1 \over 2}.$

e) Đường thẳng $y = \left( {m - 2} \right)x + n$ trùng với đường thẳng y = 2x – a khi và chỉ khi $m - 2 = 2$ và n = -3 .

Ta có: $m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy với m = 4 và n = -3 thì đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3.