Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Giải
a) Chứng minh thuận:
Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: \(\widehat {BCD} = 90^\circ \)
CD = CB (gt)
Suy ra: ∆BCD vuông cân tại C.
\( \Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ \) hay \(\widehat {ADB} = 45^\circ \)
AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45º dựng trên đoạn thẳng AB cố định.
Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.
− Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích.
− Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng ới B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45º vẽ trên AB.
Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ tùy ý trên cung BB’, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’.
Ta có: \(\widehat {AD’B} = 45^\circ \) (vì D’ nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AB).
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {AC’B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {BC’D’} = 90^\circ \)
Suy ra: ∆BC’D’ vuông cân tại C’
\( \Rightarrow \) C’B = C’D’
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung \(\overparen{BB’}\) nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.
b) Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CB = CE (gt)
\( \Rightarrow \) ∆CBE vuông tại C
\( \Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ \)
\(\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ \)
AB cố định, C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn AB cố định.
− Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì C trùng với B nên E trùng với B \( \Rightarrow \) B là 1 điểm của quỹ tích.
− Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. Khi đó E trùng A nên A là 1 điểm của quỹ tích.
Vậy E chuyển động trên 1 cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.
Chứng minh đảo: Lấy E’ bất kỳ trên cung chứa góc 135º. Kẻ AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BE’, BC’.
Ta có: \(\widehat {AE’B} = 135^\circ \) (vì E’ nằm trên cung chứa góc 135º)
\(\widehat {AE’B} + \widehat {BE’C} = 180^\circ \) (kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {BE’C’} = 180^\circ - \widehat {AE’B} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
\(\widehat {AC’B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: ∆E’C’B vuông cân tại C’. \( \Rightarrow \) C¢E¢ = C¢B
Vậy quỹ tích các điểm E khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB là một cung chứa góc 135º vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.