Câu 37 trang 106 Sách BT Toán 9 Tập 2: Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho....

Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Giải

Chứng minh thuận:

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P. O cố định, đường tròn đường kính AB cố định suy ra P cố định.

Nối PD. Ta có: OP // CH (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với AB)

Xét ∆OCH và ∆OPD:

               OD = CH (gt)

                OP = OC (bán kính)

                $\widehat {POD} = \widehat {OCH}$ (so le trong)

Suy ra: ∆DOP = ∆HCO (c.g.c)

$\Rightarrow$$\widehat {ODP} = \widehat {CHO}$  mà $\widehat {CHO} = 90^\circ$ nên $\widehat {ODP} = 90^\circ$

     Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với 2 đầu đoạn thẳng OP cố định một góc $\widehat {OPD} = 90^\circ$. Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP.

     Chứng minh đảo: Lấy điểm D¢ bất kỳ trên đường tròn đường kính OP. Kẻ OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’, kẻ C’H’⊥ AB ta phải chứng minh OD’ = C’H’.

Nối PD’. Xét ∆C’H’O và ∆PD’O

$\widehat {C’H’O} = \widehat {PD’O} = 90^\circ$

OC’ = OP (bán kính đường tròn tâm O)

$\widehat {D’OP} = \widehat {OC’H’}$ (so le trong)

Suy ra: ∆C’H’O = ∆PD’O (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ C’H’ = OD’

Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP.