Câu 45 trang 12 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh...

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

$\sqrt {{{a + b} \over 2}}  \ge {{\sqrt a  + \sqrt b } \over 2}$

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt a$ xác định, b ≥ 0 nên $\sqrt b$ xác định

Ta có: 

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr}$

$\Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab}$

$\Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab}  + {\left( {\sqrt b } \right)^2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr}$