Câu 73 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng AA'.AA' =...

Cho đường tròn đường kính AB. Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại B’ và A’.

a) Chứng minh rằng ${\rm{AA}}’.BB’ = A{B^2}$

b) Chứng minh rằng $A'{A^2} = A’M.A’B$.

Giải

a) Xét ∆AA’B và ∆BB’A:

$\widehat {A’AB} = \widehat {B’BA} = {90^0}$

$\widehat {BB’A} = \widehat {ABA’}$ (vì cùng phụ với $\widehat {BAB’}$)

Suy ra: ∆AA’B đồng dạng ∆BAB’ (g.g)

${{AA’} \over {BA}} = {{AB} \over {BB}} \Rightarrow AA’.BB’ = A{B^2}$

b) $\widehat {AMB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AM \bot A’B$

∆AA’B vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AA{‘^2} = A’M.A’B$