Câu 79 trang 17 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho các số x và y có dạng...

Cho các số x và y có dạng: $x = {a_1}\sqrt 2  + {b_1}$ và $x = {a_2}\sqrt 2  + {b_2}$, trong đó ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng $a\sqrt 2  + b$ với a và b là số hữu tỉ.

b) ${x \over y}$ với $y \ne 0$ cũng có dạng $a\sqrt 2  + b$ với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$\eqalign{ & x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr & = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr}$

Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}$ cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

$\eqalign{ & xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr & = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr}$

$= ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})$

Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}$, $2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}$ cũng là số hữu tỉ. 

b) Ta có:

$\eqalign{ & {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr & = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr}$

$= {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2  + {a_2}{b_1}\sqrt 2  - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$

$= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$

Vì $y \ne 0$ nên ${a_2}$ và ${b_2}$ không đồng thời bằng 0

Suy ra: $2{a_2}^2 - {b_2}^2$ $\ne 0$

Nếu $2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0$ thì $\sqrt 2 {{{b_2}} \over {{a_2}}}$

Điều này mâu thuẫn với $\sqrt 2$ là số vô tỉ.

Vậy ${{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$; ${{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$ đều là số hữu tỉ.