Bài 10 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho phương trình...

Cho phương trình ${x^2} - mx - 1 = 0$

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Gọi x₁, x₂ làcác nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $M = \dfrac{{{x_1}^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{{x_2}^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}$

a)Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu m ta chứng minh cho a.c < 0

b) Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}$  sau đó thay hệ thức Viet $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$ vào M rồi tính giá trị biểu thức M.

a) Cho phương trình: ${x^2} - mx - 1 = 0$ Ta có: $a.c =  - 1 < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Áp dụnghệ thức Viet cho phương trình ban đầu ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}M = \dfrac{{{x_1}^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{{x_2}^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1}^2 + {x_1} - 1} \right){x_2} - \left( {{x_2}^2 + {x_2} - 1} \right){x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ \;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}^2{x_2} + {x_1}{x_2} - {x_2} - {x_1}{x_2}^2 - {x_1}{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\ \;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( { - 1 + 1} \right)}}{{ - 1}} = 0\end{array}$

Vậy $M = 0.$