Bài 5 trang 57 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho phương trình...

Cho phương trình ${x^2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ (1)   (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 1

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Với x₁, x₂ là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:

$A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1})$

a)

1) Cách giải phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right);$$\;\Delta  = {b^2} - 4ac$

+) Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

+) Nếu   $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

+) Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

2) Cách giảiphương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ và b = 2b’, $\Delta ‘ = b{‘^2} - ac$

+) Nếu $\Delta ‘ > 0$ thì từ phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{{ - b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b’ - \sqrt {\Delta ‘} }}{a}$

+) Nếu $\Delta ‘ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b’}}{a}$

+) Nếu $\Delta ‘ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

b)Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0.

c) Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Để tìm m ta biến đổi A sau đó thay hệ thức Viet vào A

a) Khi  m = 1 thì (1) trở thành: ${x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x + 1 - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0$

Ta có: $a = 1;b’ =  - 2;c =  - 3;$ $\Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} + 3 = 7 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là ${x_1} = 2 + \sqrt 7 ;{x_2} = 2 - \sqrt 7$

b) Tìm điều kiện của m để phương trình ${x^2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ (1) có hai nghiệm trái dấu.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $a.c < 0 \Leftrightarrow 1.\left( {m - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 4$

c) Với x₁, x₂ là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:

$A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1})$

Ta có: $A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1})$$\;= {x_1} - {x_1}{x_2} + {x_2} - {x_1}{x_2}$$\;= {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}$

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = m - 4\end{array} \right.$

Thay vào A ta có: $A = 2\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m - 4} \right)$$\; = 2m + 2 - 2m + 8 = 10$