Cho phương trình \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \(M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
a)Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \(\Delta \left( {\Delta ‘} \right) > 0,\forall m\)
b) Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\) sau đó thay hệ thức Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) vào M ta rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.
a) \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét
\(\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} - m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}\)
Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ - {m^2} + 2m - 4}}\end{array}\)
M đạt giá trị nhỏ nhất khi \( - {m^2} + 2m - 4\) đạt giá trị lớn nhất
Ta có: \( - {m^2} + 2m - 4 \)\(\,= - \left( {{m^2} - 2m + 4} \right) \)\(\,= - \left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3} \right] \)\(\,= - {\left( {m - 1} \right)^2} - 3 \le - 3,\forall m\)
Khi đó ta có: \(M \ge \dfrac{6}{{ - 3}} = - 2 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.