Cho lục giác lồi ABCDEF có các đỉnh nằm trên một đường tròn và có hai cặp cạnh đối song song AB // DE, BC // EF. Chứng minh rằng cặp cạnh đối còn lại cũng song song với nhau.
+) Gọi H, K, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, DE BC, EF, AF, CD.
+) Chứng minh O; H; K thẳng hàng, O; M; N thẳng hàng.
+) Chứng minh ^AOC=^FOD;^AOP=^FOP;^COQ=^DOQ⇒^POQ=1800 , từ đó suy ra O; P; Q thẳng hàng.
+) Chứng minh AF và CD cùng vuông góc với PQ.
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và DE ta có:
OH⊥AB;OK⊥DE(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
Lại có AB//DE(gt)⇒OH⊥DE
Từ O ta có thể kẻ hai đường thẳng OH và OK cùng vuông góc với DE ⇒O;H;Kthẳng hàng.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF. Chứng minh tương tự ta có O, M, N thẳng hàng.
⇒^HOM=^NOK (đối đỉnh).
Xét tam giác OAB có {OA=OB=ROH⊥AB⇒^AOH=^BOH=12^AOB
Xét tam giác OBC có {OB=OC=ROM⊥BC⇒^BOM=^COM=12^BOC
⇒^AOB+^BOC=2^BOH+2^BOM=2^HOM⇔^AOC=2^HOM
Chứng minh tương tự ta có ^FOD=2^NOK
Mà ^HOM=^NOK(cmt)⇒^AOC=^FOD(1).
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AE và CD.
Tam giác OAF cân tại O (OA=OF=R)⇒OP⊥AF⇒ Đường cao OP đồng thời là phân giác ⇒^AOP=^FOP (2)
Chứng minh tương tự ta có ^COQ=^DOQ(3).
Từ (1), (2) và (3) ⇒^AOC+^AOP+^COQ=^FOD+^FOP+^DOQ⇒^POQ=1800⇒O;P;Q thẳng hàng.
⇒OP⊥CD.
Vậy AF//CD (cùng vuông góc với OP).