Bài 2 trang 139 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho hệ phương trình...

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + my = 4\\nx + y =  - 3\end{array} \right.$

a) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình nhận $x = -2$ và $y = 3$ làm nghiệm.

b) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình vô nghiệm.

c) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

a) Thay $x =  - 2;\,\,y = 3$ vào hệ phương trình và tìm m, n.

b) Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\,\,\left( {{a_2};{b_2} \ne 0} \right)$.

c) Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.$ vô số nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\,\,\left( {{a_2};{b_2};{c_2} \ne 0} \right)$.

a) Thay $x =  - 2;\,\,y = 3$ vào hệ phương trình ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} - 2 + 3m = 4\\ - 2n + 3 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m = 6\\2n = 6\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.$.

Vậy khi $m = 2,\,\,n = 3$ thì hệ phương trình nhận $x =  - 2;\,\,y = 3$ làm nghiệm.

b) TH1: $n = 0$, khi đó hệ phương trình trở thành

$\left\{ \begin{array}{l}x + my = 4\\y =  - 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3m = 4\\y =  - 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3m + 4\\y =  - 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm $\left( {3m + 4; - 3} \right)$ với mọi m $\Rightarrow n = 0$ không thỏa mãn.

Chứng minh tương tự $m = 0$ không thỏa mãn.

TH2: $n \ne 0$. Khi đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{n} = \dfrac{m}{1} \ne \dfrac{4}{{ - 3}} \\\Leftrightarrow mn = 1;\,\,n \ne  - \dfrac{3}{4};\,\,m \ne \dfrac{{ - 4}}{3}$.

Vậy khi $mn = 1;\,\,n \ne  - \dfrac{3}{4};\,\,m \ne \dfrac{{ - 4}}{3}$ thì hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.

c) Theo chứng minh trên, khi $mn = 0$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow mn = 0$ không thỏa mãn $\Rightarrow mn \ne 0$.

Hệ phương trình ban đầu có vô số nghiệm

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{n} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{4}{{ - 3}}\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 4}}{3}\\n = \dfrac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$.

Vậy $m =  - \dfrac{4}{3};\,\,n =  - \dfrac{3}{4}$.

 Baitapsgk.com