Bài 6 trang 75 Tài liệu dạy học Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC và AM = m....

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC và AM = m. Tính tổng $M{B^2} + M{C^2}$ theo m.

Từ M kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC, áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông để tính $M{B^2} + M{C^2}$ theo m.

Từ M kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC.

Dễ thấy$\Rightarrow$$\Delta EBM$ vuông cân tại E, $\Delta FMC$ vuông cân tại F và AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác EBM, FMC, AEF, ta có:

$\begin{array}{l}M{B^2} = M{E^2} + B{E^2} = 2M{E^2}\\M{C^2} = M{F^2} + F{C^2} = 2M{F^2}\\ \Rightarrow M{B^2} + M{C^2} = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right)\,(1)\end{array}$

Mà $A{M^2} = E{F^2} = M{E^2} + M{F^2}$(AEMF là hình chữ nhật)  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow M{B^2} + M{C^2} = 2A{M^2} = 2{m^2}$