Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
\(\left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1} \over {\sqrt x }}\)
ĐKXĐ: \(0 < x ≠ 1\).
Đặt \(\sqrt x=a\) (\(a > 0\) và \(a ≠ 1\))
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1} \over {\sqrt x }}\)
\(= \left[ {{{2 + a} \over {{a^2} + 2{\rm{a}} + 1}} - {{a - 2} \over {{a^2} - 1}}} \right].{{{a^3} + {a^2} - a - 1} \over a}\)
\(= \left[ {{{\left( {2 + a} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)} \over {\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}} \right].{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)} \over a}\)
\( = {{2{\rm{a}}} \over {\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}.{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)} \over a}=2\)