Bài 5 trang 132 SGK Toán 9 tập 2, Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:...

Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 $\left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }}$

ĐKXĐ: $0 < x ≠ 1$.

Đặt $\sqrt  x=a$ ($a > 0$ và $a ≠ 1$)

Ta có: 

$\left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }}$

$= \left[ {{{2 + a} \over {{a^2} + 2{\rm{a}} + 1}} - {{a - 2} \over {{a^2} - 1}}} \right].{{{a^3} + {a^2} - a - 1} \over a}$

$= \left[ {{{\left( {2 + a} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)} \over {\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}} \right].{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)} \over a}$

$= {{2{\rm{a}}} \over {\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}.{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)} \over a}=2$