Bài 8. Cho hai đường tròn \((O; R)\) và \((O’; r)\) tiếp xúc ngoài (\(R > r\)). Hai tiếp tuyến chung \(AB\) và \(A’B’\) của hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(P\) (\(A\) và \(A’\) thuộc đường tròn \((O’)\), \(B\) và \(B’\) thuộc đường tròn \((O)\)). Biết \(PA = AB = 4 cm\). Tính diện tích hình tròn \((O’)\).
Hướng dẫn làm bài:
Vì \(AB\) là tiếp tuyến chung của \((O)\) và \((O’)\) nên \(OB \bot AB\) và \(O’A \bot AB\)
Xét hai tam giác vuông \(OPB\) và \(O’AP\), ta có:
\(\widehat A = \widehat B = {90^0}\)
\(\widehat {{P_1}}\) chung
Vậy \(ΔOBP\) đồng dạng \(∆ O’AP\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {r \over R} = {{PO’} \over {PO}} = {{PA} \over {PB}} = {4 \over 8} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow R = 2{\rm{r}} \cr} \)
Ta có \(PO’ = OO’ = R + r = 3r\) (do \(AO’\) là đường trung bình của \(∆OBP\))
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(O’AP\)
\(O’P^2 = O’A^2 + AP^2\) hay \({\left( {3r} \right)^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}{4^{2}} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{r^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}8{\rm{ }}{r^2} = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{r^2} = {\rm{ }}2\)
Diện tích đường tròn \((O’;r)\) là:
\(S = π. r^2 = π.2 = 2π\) (\(cm^2\))