Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF=SA+SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE=SF.
a) + Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra EA=ME, FB=FM.
+ Chu vi của ΔSEF là:
PSEF=SE+EF+SF=SE+ME+MF+SF=(SE+EA)+(FB+SF)=SA+SB.
b) + Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra SA=SB và SO là tia phân giác của góc ASB.
+ Chứng minh SAB cân tại S nên SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao suy ra SO⊥AB.
+ Chứng minh EF//AB.
+ Chứng minh SESA=SFSB, mà SA=SB, do đó SE=SF
Advertisements (Quảng cáo)
(H.5.31)
a) Xét hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E ta có EA=ME. Tương tự, có FB=FM.
Chu vi của tam giác SEF là
PSEF=SE+EF+SF=SE+ME+MF+SF=SE+EA+FB+SF
=(SE+EA)+(FB+SF)=SA+SB (điều phải chứng minh)
b) Giả sử M trùng với giao điểm của SO và (O).
Xét hai tiếp tuyến SA, SB của (O) cắt nhau tại S, ta có SA=SB và SO là tia phân giác của góc ASB.
Tam giác SAB cân tại S (do SA=SB) có SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, tức là SO⊥AB.
EF là tiếp tuyến của (O) tại M nên EF⊥SO.
Từ đó suy ra EF//AB (cùng vuông góc với SO).
Tam giác SAB có EF//AB nên SESA=SFSB, mà SA=SB, do đó SE=SF (điều phải chứng minh)