Bài 109 trang 123 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.134)....

Cho parabol $(P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)$.

a) Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của $(P)$ tại tiêu điểm $F$ của $(P)$.

b) $A$ là một điểm cố định trên $(P)$. Một góc vuông $uAt$ quay quanh đỉnh $A$ có các cạnh cắt $(P)$ tại $B$ và $C$. Chứng minh rằng đường thẳng $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) (h.134).

Gọi $M , N$ là các giao điểm của $(P)$ và đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $F$. Khi đó, toạ độ của $M, N$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.$

Hệ có hai nghiệm là $\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ;  - p} \right)$.

Vậy $MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p$.

b) (h.135).

Giả sử $A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,$ $B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) ,$ $C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là:

$\begin{array}{l}2px - (b + c)y + bc = 0.             (1)\\\overrightarrow {AB}  = \left( { \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2p}} ; b - a} \right) ,\\\overrightarrow {AC}  = \left( { \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2p}} ; c - a} \right).\\\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}    \Leftrightarrow   \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 0 \\   \Leftrightarrow   ({b^2} - {a^2})({c^2} - {a^2})\\ + 4{p^2}(b - a)(c - a) = 0\\ \Leftrightarrow   (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow   bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0.       (2)\end{array}$

Rút $bc$ từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của $BC$ là

$2px - {a^2} - 4{p^2} - (b + c)(y + a) = 0$                 (3)

Dễ thấy đường thẳng $BC$ có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định $M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ;  - a} \right)$.