Advertisements (Quảng cáo)
Cho parabol \((P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)\).
a) Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của \((P)\) tại tiêu điểm \(F\) của \((P)\).
b) \(A\) là một điểm cố định trên \((P)\). Một góc vuông \(uAt\) quay quanh đỉnh \(A\) có các cạnh cắt \((P)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.
a) (h.134).
Gọi \(M , N\) là các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(F\). Khi đó, toạ độ của \(M, N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.\)
Hệ có hai nghiệm là \(\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ; – p} \right)\).
Vậy \(MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p\).
b) (h.135).
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \( B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là:
\(\begin{array}{l}2px – (b + c)y + bc = 0. (1)\\\overrightarrow {AB} = \left( { \dfrac{{{b^2} – {a^2}}}{{2p}} ; b – a} \right) ,\\\overrightarrow {AC} = \left( { \dfrac{{{c^2} – {a^2}}}{{2p}} ; c – a} \right).\\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 0 \\ \Leftrightarrow ({b^2} – {a^2})({c^2} – {a^2})\\ + 4{p^2}(b – a)(c – a) = 0\\ \Leftrightarrow (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0. (2)\end{array}\)
Rút \(bc\) từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của \(BC\) là
\(2px – {a^2} – 4{p^2} – (b + c)(y + a) = 0\) (3)
Dễ thấy đường thẳng \(BC\) có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định \(M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ; – a} \right)\).