Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ) Bài 109 trang 123 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:...

Bài 109 trang 123 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.134)....

Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao. Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \(  B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left(. Bài tập Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho parabol \((P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)\).

a) Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của \((P)\) tại tiêu điểm \(F\) của \((P)\).

b) \(A\) là một điểm cố định trên \((P)\). Một góc vuông \(uAt\) quay quanh đỉnh \(A\) có các cạnh cắt \((P)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.

a) (h.134).

 

Gọi \(M , N\) là các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(F\). Khi đó, toạ độ của \(M, N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.\)

Hệ có hai nghiệm là \(\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ;  - p} \right)\).

Vậy \(MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p\).

Advertisements (Quảng cáo)

b) (h.135).

 

Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \(  B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là:

\(\begin{array}{l}2px - (b + c)y + bc = 0.             (1)\\\overrightarrow {AB}  = \left( { \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2p}} ; b - a} \right) ,\\\overrightarrow {AC}  = \left( { \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2p}} ; c - a} \right).\\\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}    \Leftrightarrow   \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 0 \\   \Leftrightarrow   ({b^2} - {a^2})({c^2} - {a^2})\\ + 4{p^2}(b - a)(c - a) = 0\\ \Leftrightarrow   (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow   bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0.       (2)\end{array}\)

Rút \(bc\) từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của \(BC\) là

\(2px - {a^2} - 4{p^2} - (b + c)(y + a) = 0\)                 (3)

Dễ thấy đường thẳng \(BC\) có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định \(M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ;  - a} \right)\).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: