Bài 108 trang 123 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho hypebol $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và có hệ số góc $k, \Delta$’ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm, tâm sai, phương trình các đường tiệm cận và đường chuẩn của $(H);$

b) Tìm điều kiện của $k$ để cả $\Delta$ và $\Delta’$ đều cắt $(H);$

c) Tứ giác với bốn đỉnh là bốn giao điểm của $\Delta$ và $\Delta’$ với $(H)$ là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác này theo $k ;$

d) Xác định $k$ để diện tích tứ giác nói ở câu c) có giá trị nhỏ nhất.

a) ${a^2} = 4   \Rightarrow  a = 2  ,$ ${b^2} = 9   \Rightarrow   b = 3 ,$ ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 13   \Rightarrow   c = \sqrt {13}$.

Vậy $(H)$ có các tiêu điểm: ${F_1}( - \sqrt {13}  ; 0) ,  {F_2}(\sqrt {13}  ; 0)$, tâm sai  $e =  \dfrac{c}{a} =  \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$, các đường tiệm cận: $y =  \pm  \dfrac{{bx}}{a} =  \pm  \dfrac{3}{2}x$, các đường chuẩn : $x =  \pm  \dfrac{a}{e} =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {13} }}$.

b) Từ giả thiết suy ra $\Delta :  y = kx,  \Delta ‘:  y =  -  \dfrac{1}{k}x$.

Hoành độ giao điểm của $\Delta$ và $(H)$ là nghiệm của phương trình:

$9{x^2} - 4{k^2}{x^2} = 36$

$\Leftrightarrow    (9 - 4{k^2}){x^2} = 36.$             (1)

Tung độ giao điểm của $\Delta ‘$ và $(H)$ là nghiệm của phương trình:

$9{k^2}{y^2} - 4{y^2} = 36$

$\Leftrightarrow   (9{k^2} - 4){y^2} = 36$.              (2)

$\Delta$ cắt $(H)$ khi và chỉ khi (1) có nghiệm, hay $9 - 4{k^2} > 0    \Leftrightarrow    -  \dfrac{3}{2} < k <  \dfrac{3}{2}$.

$\Delta ‘$ cắt $(H)$ khi và chỉ khi (2) có nghiệm, hay $9{k^2} - 4 > 0    \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}k >  \dfrac{2}{3}\\k <  -  \dfrac{2}{3}.\end{array} \right.$

Vậy $\Delta$ và $\Delta ‘$ đều cắt $(H)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} -  \dfrac{3}{2} < k <  \dfrac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}k <  -  \dfrac{2}{3}\\k >  \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.     \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l} -  \dfrac{3}{2} < k <  -  \dfrac{2}{3}\\ \dfrac{2}{3} < k <  \dfrac{3}{2}.\end{array} \right.$

c) Gọi $A$ và $C$ là các giao điểm của $\Delta$ và $(H) (x_A > 0)$; $B$ và $D$ là các giao điểm của  $\Delta ‘$ và $(H) (y_B < 0).$

Do $(H)$ nhận $O$ làm tâm đối xứng, nên $OA=OC, OB=OD$, do đó $ABCD$ là hình bình hành. Lại có $AC$ vuông góc với $BD$ nên $ABCD$ là hình thoi.

Giải hệ các phương trình của  $\Delta$ và $(H)$: $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = kx\end{array} \right.$, ta được $A = \left( { \dfrac{6}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }} ;  \dfrac{{6k}}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }}} \right)$.

Giải hệ các phương trình của $\Delta ‘$ và $(H)$ : $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\\y =  -  \dfrac{1}{k}x\end{array} \right.$, ta được $B = \left( { \dfrac{{6k}}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }} ;  \dfrac{{ - 6}}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }}} \right)$.

Ta có :

$\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{OAB}} = 2OA.OB.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2 =  \dfrac{{36({k^2} + 1)}}{{9 - 4{k^2}}}  \\  \Rightarrow   OA =  \dfrac{{6\sqrt {1 + {k^2}} }}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }}\\O{B^2} = x_B^2 + y_B^2 =  \dfrac{{36({k^2} + 1)}}{{9{k^2} - 4}}  \\ \Rightarrow   OB =  \dfrac{{6\sqrt {{k^2} + 1} }}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }}\\ \Rightarrow   {S_{ABCD}} =  \dfrac{{72({k^2} + 1)}}{{\sqrt {(9 - 4{k^2})(9{k^2} - 4)} }}\end{array}$.

d) Ta có

$\dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}} =  \dfrac{{9 - 4{k^2} + 9{k^2} - 4}}{{36(1 + {k^2})}}$

$=  \dfrac{5}{{36}}$.

Vậy $\dfrac{1}{{O{A^2}}}. \dfrac{1}{{O{B^2}}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow    OA = OB$.

Mà $\dfrac{1}{{O{A^2}}}. \dfrac{1}{{O{B^2}}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow   OA.OB$ nhỏ nhất ${S_{ABCD}}$ nhỏ nhất.

Vậy $S_ABCD$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow   OA = OB  \Leftrightarrow    9 - 4{k^2} = 9{k^2} - 4$

$\Leftrightarrow   k =  \pm 1$.

Vậy diện tích hình thoi $ABCD$ nhỏ nhất khi các đường thẳng $\Delta  ,  \Delta ‘$ là các đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai.