Bài 37 trang 11 SBT Hình 10 nâng cao: (h.19)....

Cho tam giác $ABC$ với các cạnh $AB=c, BC=a, CA=b.$

a) Gọi $CM$ là đường phân giác trong của góc $C$. Hãy biểu thị vec tơ $\overrightarrow {CM}$ theo các vec tơ $\overrightarrow {CA}$ và $\overrightarrow {CB}$.

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng

$a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$.

(h.19).

a) Theo tính chất đường phân giác , ta có

$\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{b}{a}$, suy ra $\overrightarrow {MA}  =  - \dfrac{b}{a}\overrightarrow {MB}$.

Từ đó , ta có $\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  + \dfrac{b}{a}\overrightarrow {CB} }}{{1 + \dfrac{b}{a}}}$

$= \dfrac{a}{{a + b}}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {CB} .$

b) Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ nên $AI$ là phân giác của tam giác $ACM$. Bởi vậy theo câu a), ta có biểu thị vec tơ $\overrightarrow {AI}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {AC}$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \dfrac{{AC}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AM}  + \dfrac{{AM}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AC}\\  = \dfrac{b}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}.\dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + b}}}}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC}\\  = \dfrac{b}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IA} ) + \dfrac{c}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA} ).\end{array}$

Suy ra

$\left( {1 - \dfrac{{b + c}}{{a + b + c}}} \right)\overrightarrow {IA}  + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {IB}  + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\,a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 .$