Bài 38 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao. =2→HO.=2−−→HO.. Bài 4. Tích của một vec tơ với một số.
Cho tam giác ABCABC có trực tâm HH và tâm đường tròn ngoại tiếp OO. Chứng minh rằng
a) →OA+→OB+→OC=→OH−−→OA+−−→OB+−−→OC=−−→OH;
b) →HA+→HB+→HC=2→HO−−→HA+−−→HB+−−→HC=2−−→HO.
(h.20).
a) Gọi B′ là điểm đối xứng với B qua O, ta có B′C⊥BC. Vì H là trực tâm tam giác ABC nên AH⊥BC. Vậy AH//B′C.
Chứng minh tương tự ta có CH//B′A.
Vậy AB′CH là hình bình hành. Suy ra →AH=→B′C. Gọi D là trung điểm của BC thì OD là đường trung bình của tam giác BB′C nên →B′C=2→OD. Vậy →AH=2→OD.
Từ đó, ta có
→OA=→OH+→HA
Advertisements (Quảng cáo)
=→OH−→AH=→OH−2→OD
=→OH−(→OB+→OC).
Suy ra →OA+→OB+→OC=→OH.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì
→HA+→HB+→HC=3→HG
=3→HO+3→OG
=3→HO+→OA+→OB+→OC.
Kết hợp với kết quả của câu a), ta có
→HA+→HB+→HC=3→HO+→OH
=2→HO.