Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Bài 38 trang 11 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:...

Bài 38 trang 11 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.20)....

Bài 38 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao. \(= 2\overrightarrow {HO} .\). Bài 4. Tích của một vec tơ với một số.

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\). Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \);

b) \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \).

(h.20).

 

a) Gọi \(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\), ta có \(B’C \bot BC\). Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\). Vậy \(AH//B’C.\)

Chứng minh tương tự ta có \(CH//B’A.\)

Vậy \(AB’CH\) là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {B’C} \). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\) thì \(OD\) là đường trung bình của tam giác \(BB’C\) nên \(\overrightarrow {B’C}  = 2\overrightarrow {OD} \). Vậy \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OD} \).

Quảng cáo
Đang tải...

Từ đó, ta có

\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}\)

\( = \overrightarrow {OH}  – \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH}  – 2\overrightarrow {OD}\)

\(  = \overrightarrow {OH}  – (\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ).\)

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HG}\)

\(  = 3\overrightarrow {HO}  + 3\overrightarrow {OG} \)

\(= 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} .\)

Kết hợp với kết quả của câu a), ta có

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OH} \)

\(= 2\overrightarrow {HO} .\)