Bài 39 trang 11 SBT Hình 10 nâng cao: (h.21)....

Cho ba dây cung song song $AA_1, BB_1, CC_1$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng trực  tâm của ba tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ nằm trên một đường thẳng.

(h.21).

 Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$. Theo kết quả bài 38, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {O{H_1}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{C_1}} \,\,\,;\\\overrightarrow {O{H_2}}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {O{A_1}} \,\,\,;\\\overrightarrow {O{H_3}}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {O{B_1}} \,\,.\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{H_1}{H_2}}  = \overrightarrow {O{H_2}}  - \overrightarrow {O{H_1}} \\ = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {O{C_1}}  + \overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OA}\\  = \overrightarrow {{C_1}C}  + \overrightarrow {A{A_1}} \\\overrightarrow {{H_1}{H_3}}  = \overrightarrow {O{H_3}}  - \overrightarrow {O{H_1}} \\ = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {O{C_1}}  + \overrightarrow {O{B_1}}  - \overrightarrow {OB} \\ = \overrightarrow {{C_1}C}  + \overrightarrow {B{B_1}} .\end{array}$

Vì các dây cung $AA_1, BB_1, CC_1$ song song với nhau nên ba vec tơ $\overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}}$ có cùng phương. Do đó hai vec tơ $\overrightarrow {{H_1}{H_2}}$ và $\overrightarrow {{H_1}{H_3}}$ cùng phương , hay ba điểm $H_1, H_2, H_3$ thẳng hàng.