Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Bài 35 trang 11 SBT Hình 10 nâng cao: (Chú ý rằng...

Bài 35 trang 11 SBT Hình 10 nâng cao: (Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì...

Bài 35 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao. Giải. Bài 4. Tích của một vec tơ với một số.

Cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(d\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) sao cho vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \) có độ dài nhỏ nhất.

Với mọi điểm \(O\) ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA}  – \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OM}  \\+ 2(\overrightarrow {OC}  – \overrightarrow {OM} )\\= \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  – 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)

Quảng cáo
Đang tải...

Ta chọn điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \).

(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OC}\)

\(  = 3\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OC} \)

\( = 4\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} \). Bởi vậy để \(\overrightarrow v  = \overrightarrow 0 \), ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow {GO}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC} \)).

Khi đó, \(\overrightarrow u  =  – 4\overrightarrow {OM} \) và do đó \(|\overrightarrow u | = 4OM\). Độ dài vec tơ \(\overrightarrow u \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(4OM\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d.\)