Bài 35 trang 11 SBT Hình 10 nâng cao: (Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì...

Cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $d$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho vec tơ $\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}$ có độ dài nhỏ nhất.

Với mọi điểm $O$ ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM}  \\+ 2(\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OM} )\\= \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  - 4\overrightarrow {OM} .\end{array}$

Ta chọn điểm $O$ sao cho $\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0$.

(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

$\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OC}$

$= 3\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OC}$

$= 4\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}$. Bởi vậy để $\overrightarrow v  = \overrightarrow 0$, ta chọn điểm O sao cho $\overrightarrow {GO}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC}$).

Khi đó, $\overrightarrow u  =  - 4\overrightarrow {OM}$ và do đó $|\overrightarrow u | = 4OM$. Độ dài vec tơ $\overrightarrow u$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $4OM$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $d.$