Bài 42 trang 12 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 4. Tích của một vec tơ với một số....

Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $\Delta$ là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng $\theta$. Chứng minh rằng với các cánh chọn $\Delta$ khác nhau, đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác $\Delta$ và trung điểm đoạn thẳng $\theta$ luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi $A, B, C$ là ba đỉnh của tam giác $\Delta$ và $DE$ là đoạn thẳng $\theta$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $\Delta$ và $M$ là trung điểm của $DE$  thì với điểm $I$ tùy ý, ta có

$\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IE}  = 3\overrightarrow {IG}  + 2\overrightarrow {IM} .$

Bởi vậy nếu chọn $I$ là trọng tâm của hệ điểm $A, B, C, D, E,$ tức là trọng tâm của hệ năm điểm đã cho thì $I$ là điểm cố định và $3\overrightarrow {IG}  + 2\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0$. Vậy các đường thẳng $GM$ luôn luôn đi qua điểm $I$ cố định (và $I$ là điểm chia đoạn thẳng $GM$ theo tỉ số $- {2 \over 3}$).