Cho \(n\) điểm \(A_1, A_2, …,A_n\) và \(n\) số \(k_1, k_2, …,k_n\) mà \(k_1+ k_2+ …+k_n =k \ne 0\).
a) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm \(G\) sao cho
\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \).
Điểm \(G\) như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \(A_i\), gắn với các hệ số \(k_i\). Trong trường hợp các hệ số \(k_i\) bằng nhau (và do đó có thể xem các \(k_i\) đều bằng 1), thì \(G\) gọi là trọng tân của hệ điểm \(A_i\).
b) Chứng minh rằng nếu \(G\) là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với mọi điểm \(M\) bất kì, ta có
\(\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{k}\left( {{k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} } \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta lấy một điểm \(O\) nào đó thì
\(\begin{array}{l}{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,{k_1}(\overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OG} ) + {k_2}(\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OG} ) \\+ ... + {k_n}(\overrightarrow {O{A_n}} - \overrightarrow {OG} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{k}({k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} ).\end{array}\)
Vậy điểm \(G\) hoàn toàn xác định và duy nhất.
b) Suy ra từ câu a).