Bài 40 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao: Suy ra từ câu a)....

Cho $n$ điểm $A_1, A_2, …,A_n$ và $n$ số $k_1, k_2, …,k_n$ mà $k_1+ k_2+ …+k_n =k \ne 0$.

a) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm $G$ sao cho

${k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0$.

Điểm $G$ như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ  điểm $A_i$, gắn với các hệ số $k_i$. Trong trường hợp các hệ số $k_i$ bằng nhau (và do đó có thể xem các $k_i$ đều bằng 1), thì $G$ gọi là trọng tân của hệ  điểm $A_i$.

b) Chứng minh rằng nếu $G$ là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với mọi điểm $M$ bất kì, ta có

$\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}\left( {{k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} } \right)$.

a) Ta lấy một điểm $O$ nào đó thì

$\begin{array}{l}{k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,{k_1}(\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OG} ) + {k_2}(\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OG} ) \\+ ... + {k_n}(\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OG} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}({k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} ).\end{array}$

Vậy điểm $G$ hoàn toàn xác định và duy nhất.

b) Suy ra từ câu a).