Bài 64 trang 111 SBt Hình học 10 Nâng cao: (h.111)....

Cho elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1  (a > b > 0).$ Gọi $F_1, F_2$ là các tiêu điểm và $A_1, A_2$ là các đỉnh trên trục lớn của $(E)$. $M$ là điểm tùy ý trên $(E)$ có hình chiếu trên $Ox$ là $H$. Chứng minh rằng

a) $M{F_1}.M{F_2} + O{M^2} = {a^2} + {b^2}$;

b) ${(M{F_1} - M{F_2})^2} = 4(O{M^2} - {b^2})$;

c) $H{M^2} =  -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}}$.

(h.111).

$M(x ; y)  \in (E)   \Rightarrow    \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ;$ $M{F_1} = a + ex ,  M{F_2} = a - ex$

a) Ta có

$\begin{array}{l}M{F_1}.M{F_2} + O{M^2}\\ = (a + ex)(a - ex) + {x^2} + {y^2}\\= {a^2} - {e^2}{x^2} + {x^2} + {y^2}\\= {a^2} + {y^2} + {x^2}\left( {1 -  \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right)\\= {a^2} + {y^2} + {b^2}. \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\\= {a^2} + {y^2} + {b^2}\left( {1 -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right) = {a^2} + {b^2}.\end{array}$

b)

 $\begin{array}{l}{(M{F_1} - M{F_2})^2} = 4{e^2}{x^2}.(1)\\4(O{M^2} - {b^2}) = 4({x^2} + {y^2} - {b^2})\\ = 4.\left[ {{x^2} + \left( {{b^2} -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} \right) - {b^2}} \right]\\= 4{x^2}\left( {1 -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) = 4{e^2}{x^2}.(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra ${(M{F_1} - M{F_2})^2} = 4(O{M^2} - {b^2})$.

c)

$\begin{array}{l}H{M^2} = {y^2}.\\ -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}}\\  =  -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}( - a - x)(a - x) \\=  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}({a^2} - {x^2}) = {b^2} -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\\= {b^2} - ({b^2} - {y^2}) = {y^2}\\ \Rightarrow   H{M^2} =  -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}} .\end{array}$